미분을 이용한 함수의 근사값 구하기. 수학이야기

복학에 대비하여 공부하는 습관을 들이고자 요즘 미적분을 다시 공부하고 있습니다.

대한민국 학생이라면 다들 시달리는 그런 내용이니, 설명 한번 보고 문제 풀면 껌이져.

하여튼 하다가 할 것도 없고 해서 이글루스에 간략하게 정리합니다.



미분을 이용한 거니까 함수 f(x)는 당연히 미분 가능한 함수여야 합니당.

식1.
 

x와 y의 변화량을 식1을 통해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
식2.


식1,2를 연립해서 풀면 다음과 같이 y의 변화량에 대한 식으로 나타나죠.


이것을 양변은 x의 변화량으로 나눠봅니다.


우변은 모다? 도함수의 정의입니다. 그러니까 다음과 같이 표현 가능합니다.


이제 중간머리를 잘라 먹고 양 끝에 있는 f(x)의 변화량의 비와 f'(x)의 변화량의 비만 보시면 됩니다.


그런데 dx 값을 Δx값과 같게 잡는다면,



그러면 식2는 다음과 같이 나오죠.


그런데 식1을 미분하면 dy는 다음과 같이 나오니까


식2는 최종적으로 이렇게 정리가 되죠.



그런 이제 위에 걸 적용해서 근사적으로 값을 구하고 싶은 게 있을 때 써먹으시면 됩니다.

예를 들면 이렇게요.
루트 1.45가 필요할 때면 다음과 같이 구하면 됩니다.
스샷 나눠서 설명하기 귀찮으니 걍 통으로~


정확히 계산해보면 f(1.45) = 1.204159457... 이 나오는데 근사적으로 구한 1.204166... 과는 소수점 넷째 자리 까지 맞네요.

근데 우리는 이미 f(1.44) = 1.2란 걸 알고 있잖아요?

그냥 그것만 알아도 소수점 둘째 자리 까진 맞네요.

또, 한가지 흠이라면 근사값을 구하려면 기준을 삼을 값(위의 예제에선 f(1.44))을 잘 정해야 한다는 거죠.


이거 말고 Newton-Rhapson Method란 것도 있는데 방법이 심하게 노가다더군요.

같은 계산을 여러번 해줘야 하는데, 어지간히 좋은 식이 아니면 워낙 값이 더럽게 나와서...

그나마 이게 한 방에 끝나요.


가장 좋은 방법은 더러운 값이 안 나오는 문제를 푸는 거고, 둘째는 계산기를 사용하는 거고,

셋째는 걍 x값을 편한 값으로 바꿔서 사용(위의 예제에선 1.45대신 1.44를 넣는다거나 1.4641을 넣는다거나)하는 것이죠.

제가 소개한 방법은 네번째에나 고려하시면 됩니다.





PS. 위에 수식은 Math Type이라는 프로그램을 사용한 건데, 한글에서 만들 때보다 훨씬 편하네요. 근데 수식 말고 글을 넣는 방법을 몰라서 수식 써놓고 조각조각 나눠서 올리는 노가다를 해야 했습니다. 젠장, 멍청하면 손발이 고생한다능 언젠가 좀 더 프로그램에 익숙해지면 스샷 한방으로 때울 날도 오겠지요. 프로그램은 30일 써보고 좋으면 구매 한 번 해볼지도 모르겠습니다. 근데 100달라 가깝네요.. 비싸...lllOTLlll  

PS2. 다음에는 어떤 정수 n에 대해 n<x<2n 을 만족하는 소수가 항상 있다는 베르트랑의 공준의 증명을 다뤄보겠습니다. 좀 찾아보니까 체비셰프랑 라마누잔, 그리고 에어디쉬의 증명이 있다고 하는데 쳬비셰프나 라마누잔의 증명은 인간이 풀 레벨이 아니고 에어디쉬의 증명은 고등학교 과정만 이수했으면 풀 수 있다고 하니 에어디쉬의 증명으로 하려고 합니다.


덧글

  • 네무 2011/03/31 20:18 # 삭제 답글

    와 정말 깨끗하게 정리해주셔서 감사합니다.
    행사 참여하느라 수업 한번 뺴먹어서 독학으론 이해가 안됐는데 이제야 이해 됐습니다..
  • YoUZen 2011/04/01 23:44 #

    도움이 되었다니 기쁩니다.
    이렇게 좋은 리플을 보니 업데이트를 안하는 제가 부끄러워지는군요.ㅠㅠ
  • 하핫 2012/04/22 15:41 # 삭제 답글

    와우 정말 이해가 잘되네요~
    근데 질문이있는데요 루트1.45값 구할때 미분자x를 왜0.01로 논거에요?
    거기에 대해 잘모르겠어요~
  • YoUZen 2012/04/22 21:59 #

    왜냐면 우리는 f(1.45)값을 구하는데 f(1.44)를 이용했으니까요.
    x_0=1.44 로 두면 x=x_0+dx로 해서 1.45=1.44+0.01 이렇게 dx가 나오는겁니다.

    말로만 설명하면 x가1.44일때의 y값을 알고있으니, 그점을 기준으로 x=1.45는 0.01만큼 옆으로 간거죠, 그게 dx입니다.
  • 화성인 2013/04/26 17:52 # 삭제 답글

    시험 앞두고 감사합니다. 깔끔하게 정리되어있네요!
  • 아아, 2016/04/02 11:57 # 삭제 답글

    완전 감사해요..... 이런 자료를 무료로 공개해주시다니!!!
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